*** Ancien sujet de bac : Antilles-Guyane, juin 2016

Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ , d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Partie A - Étude graphique

La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point $\text{A}(2,5;1,5)$ et d'ordonnée à l'origine $2,75$ .
L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\mathrm{\infty }$ . 
Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :
1.  $f(1)$  

2.  $f^{\prime }(2,5)$  
3. une équation de la tangente $T$  
4. ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)}$

Partie B - Modélisation

On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$  tels que, pour tout réel $x$ , $f(x)=(ax+b){\text{e}}^{-x+2,5}$ .

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ en fonction de $a$ et $b$  .

2. Exprimer en fonction des réels   $a$ et $b$   les nombres  $f(1)$ et $f^{\prime }(2,5)$ .

3. Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par $a$ et $b$  .

4. Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$ .

Partie C - Étude algébrique

On admet que, pour tout réel $x$ , $f(x)=(x-1){\text{e}}^{-x+2,5}$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en $-\mathrm{\infty }$ .

2. a. Montrer que, pour tout réel $x$ ,  $f(x)={\text{e}}^{2,5}({\displaystyle \frac{x}{{\text{e}}^x}}-{\displaystyle \frac{1}{{\text{e}}^x}})$ .
    b. Déterminer la limite de  $f$ en $+\mathrm{\infty }$ .

3. a. Calculer $f^{\prime }(x)$ pour tout réel $x$ .
    b. Étudier le signe de $f^{\prime }$ et en déduire le tableau des variations de la fonction  $f$ en faisant figurer les limites trouvées précédemment.

Partie D - Application

On souhaite déterminer l'aire $S$ en unité d'aire de la surface d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil auditif schématisé ci-dessous.
Une modélisation mathématique a permis de représenter cette surface.

Dans le plan muni du repère orthonormé   $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ , cette surface correspond à la partie du plan limitée par :

• l'axe des abscisses ;
• les droites d'équations $x=1$ et $x=2,5$ ;
• la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ étudiée précédemment ;
• la courbe représentative ${\mathcal{C}}_g$ de la fonction $g$ définie pour tout réel par  $g(x)=-2x^2+12x-16$ .

1. Sur le graphique ci-dessous, hachurer la surface décrite précédemment.

Pour déterminer l'aire  $S$ de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.

2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_2^{2,5}g(x)\text{d}x}$ .

3. On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale $J={\displaystyle {\int }_1^{2,5}f(x)\text{d}x}$  où   $f$   est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
    a. Vérifier qu'une primitive $F$ de la fonction   $f$   sur $\mathbb{R}$  est la fonction définie pour tout réel   $x$   par $F(x)=-x{\text{e}}^{-x+2,5}$ .
    b. En déduire la valeur exacte de l'intégrale $J$ .

4. a. Déterminer la valeur exacte de l'aire  $S$ en unités d'aire.
    b. En déduire la valeur arrondie à ${10}^{-2}$ de l'aire  $S$ en unités d'aire.